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例題1
知っておこうこんな法則

畳数×2=平方数(同じ数どうしをかけて出る数)が成り立つとき、その部屋は正方形となる。

ということは、20×2以下の平方数を数えるだけでOK。
1、4、9、16、25、36の6つが当てはまるので、正解は6通り
ちなみに畳の数は、半畳(はんじょう)、2畳、4畳半、8畳、12畳半、18畳なら正方形になるということですね。
あのマッチぼうの問題が正方形だったことを反射的に思い出せる人は気づく力が良好だといえます。

ついでにもう一つ…。例題1の図は4畳半になっていますが、何か気づいたことはありませんか。
ここでの半畳、4畳半、12畳半の1辺の長さに着目するとわかります。そう、1・3・5、つまり奇数なのです。この問題の場合、正方形を基準にしているわけですから1辺が奇数なら面積も奇数になるのは当たり前ですが、さて…? 実は、部屋の大きさが奇数×奇数である限り絶対に②:①の畳をしきつめることはできないということだったのです。だから存在するのが半畳(①:①)の畳というわけですね。少々視点を変えて、このことを次の問題で確認してみましょう。

例題2
知っておこうこんな法則

  ②:①の長方形を使って長方形(正方形)にならべるとき、一方が②で固定される限りその場合の数は、フィボナッチの数列をつくる。

要するに、以下のようによこの長さの増加に対応した場合の数ができてしまうということです。
123...
したがって正解は89-34=55通り。あるいは10と8の差、つまり9番目のフィボナッチ数なので55通りと考えるのがベストですね。

これで、1辺の長さが偶数である限り長方形(正方形)の部屋には必ず②:①の畳をしきつめることができるということも、はっきりしたはずです。ちなみにたてが4mでよこが3mになる6畳間は既に11通り示しましたが、8畳だと何通りくらいになると思いますか。この求め方についての詳細は省きますが、答としては36通りになります。もし、あのマッチ棒の問題で一番小さな正方形をなくすだけなら36通りの方法があったということでもありますね。そして同時に、すべての正方形をなくすために利用した8畳のしき方なら、そのうち2通りに過ぎないということも合わせて理解しておいてください。

8jouこれと   8畳2これですね

このように、意外な形でいろいろ関係しあっている事象をこれからもぜひ楽しんでいってください。
そこで・・・

練習問題
知っておこうこんな法則

(1)畳数×2=平方数のとき正方形ができるので、50×2=100以下の平方数の個数が答となります。つまり、1~10の平方数を示しているにすぎませんので、正解は10通りです。
(2)この場合、100×2以下に何通りの平方数が含まれているか、いいかえれば平方数の和が200以下になるときの平方数の個数を問われているのと同じことだと解釈すればよいことになります。したがって、1+4+9+16+25+36+49+64=204となって32畳はのぞかれ、0.5~24.5畳すなわち1~7の平方数の和に条件が限られるので、正解は7通りです。使う畳の数も70枚でしかありません。

前回よりちょっと難しくなったかもしれませんが、「自分の身のまわりには価値のあるからくりが必ずあるものだ」という経験的認識をもつことは大変貴重です。その意味でまた、次回を楽しみにお待ちいただけると幸いです。

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