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さて…
ボーリングのピンの並び方って知っていますか。

こうですね。

例題1

10本のピンが三角形にならんでいます。

ところで、この図のようにならんでいるとすると、ボールはどの方向から転がってきますか。斜め下からなんていうのに気づくセンスは認めますが、ここではやめておきましょう。普通に考えると上(北)の方向から転がってきますよね。そこで問題です。ボールが下(南)方向から転がってくるようにするには、ピンの並び方を逆三角形に変えなければいけません。そのとき、動かすピンの数をできるだけ少なくすると、何本のピンを動かせばよいことになりますか。

【解答】
図の通り、3本動かせば向きが逆になります。

知っておこうこんな法則

では、もしこの段数が5段、6段と増えていった場合でも一定の解法があるのかどうか?
それが今回のテーマです。
実はこれ、4段から7段までを考えるとエレガントな規則性に気がついてしまいます。ぜひ自力で見つけたいという人は、このあとの解説を見ずに問題と向き合ってみてください。算数の醍醐味は‘発見’にあるのですから…。

解説

ひとまず右の図をごらんください。
結論を急ぐようですが、これは一気に10段の場合を示しています。このとき、色のついた六角形が何を意味しているのかがポイントです。すべて線対称になっていることに即座に着目できた人は、スムーズに理解が進む人だろうと思います。

まず、赤い六角形にだけ注目してください。
このとき、10段のピンに意識が向いていることになります。すると赤い六角形の外側には6本×3=18本のピンがあります。先の4段の場合のピンの移動を思い出していただくと、この6本ずつがそれぞれ移動して逆三角形をつくるというイメージに結びつくはずです。

その上で、緑の六角形に視点を移してみましょう。結果的に9段のピンに意識が向いたことになるので、外側にあるのは3本と6本が2組(3+6×2)です。そしてさらに青い六角形に視点を移すと8段を見ていることになって、その外側にあるのは6本と3本が2組(6+3×2)ということになります。この事実を4段から7段の場合に連結すると規則性が明確に浮き上がるというわけです。(cf.下表:赤枠部分)
ちなみに各段にとる六角形の大きさは、十字に対称軸をもつ線対称の六角形の最大であることはいうまでもありません。

この内容をふまえた規則的解法をそのまま15段まで並べてみましょう。

知っておこうこんな法則

ここで表れた移動個数をそのまま数列にすると…
0,1,2,3,5,7,9,12,15,18,22,26,30,35,40… となるのですが、ここにこの問題を簡単に解く鍵が隠されていることにお気づきいただけるでしょうか。
こうすればどうでしょう。

0,1,2,3,5,7,9,12,15,18,22,26,30,35,40

同じ個数を3倍するだけの段(‘3の倍数+1’段目)を基点に、3つを1グループとして、その差が1,2,3,4,5…と1ずつ増えながら拡大しているようすがわかります。
そして3倍すべき個数は常に三角数ですから自然数の和に相当しています。したがって、もし求める段が14段なら、一番近い(3の倍数+1)段目が、(12+1)段目なので12_3 番目の自然数の和(10)の3倍が移動個数にあたり、これが0から数えて5番目であることにより差が5となるので、10×3+5=35になるというわけです。同様に考えると、 もし50段の場合などという大きな数になっても、この性質を理解している限り簡単に解けてしまいます

50以下で50に一番近い3の倍数は48なので49段目が基準。 48_3番目の自然数の和は1~16の和につき、 16_17_2=136。かつ0から数えて17番目なので差が17。求める段数は50段目(49段の次)なので、
136×3+17=425になるというわけです。もちろん、上の解法表を基に、49段目→136×3ならば、50段目→153+136×2=425ということでもなんの問題もありません。51段目なら136+153×2=442。あるいは136×3+34=442ということですね。

 ‘不変移動’という言葉を使って、「どんなに変わっても変わらないものがある」ということがらに触れたわけですが、ご納得いただけたでしょうか。JigJamJungleの世界は、このようにどんなささいな 問いかけにも知識の種が散りばめられており、その延長上には常に価値ある知恵と知識の実りが収穫の‘時’を待っているのです。

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