【中学受験】【高校受験】
四国新聞掲載 問題の解答

2020年の大学入試制度改革の動きは中学受験・高校受験からはじまっています。
さあ、新制度に向けた問題を新年から解いてみよう!

令和2年スタート!
気持ちも新たに思考問題に挑戦!!

中学受験用 問題

先日、香川さんのクラスで実施された、算数、国語、理科のテストの結果が発表されました。
下の表は、それぞれの教化と3教科の合計の、上位3人の名前と得点を示したもので、3位の人はこの表の人以外にはいませんでした。

この表から香川さんは、算数と国語はそれぞれ最低でも何点とっていると考えられますか。

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高校受験用 問題

AD=12cmで、たてと横の長さの比が√2:1の長方形ABCDがある。
図1のように、辺AD上に点Pをとり、点Pを通り辺AB、DCと平行な直線をかき、辺BCとの交点をQとする。

図2のように、点Cが点Pと重なるように折ったとき、この折り目の線と、線分AB、PQ、DCとの交点をそれぞれJ、K、Lとする。

このとき、次の問いに答えなさい。

  1. 図2のように、三角形PKLが正三角形となるように点Pをとったとき、線分PDの長さを求めよ。
  2. 三角形PKLが正三角形となるときの点Pの位置は、次の①~③の手順で見つけることができる。
    (ア)、(イ)にあてはまる記号をそれぞれ書け。
  1. 辺ABが辺DCに重なるように折り、図3のようにもとに戻したときの折り目の線をRSとする。
  2. 点(ア)を通る線分を折り目として、点(イ)が線分RS上に重なるように折ったとき、点(イ)の移った点をEとする。
  3. さらに、2点E、Cを通る線分を折り目として折ったとき、この折り目の線と線分ADの交点が点Pの位置となる。
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中学受験用 解答

算数・・・85点

国語・・・87点

解説

「最低でも何点とっていると考えられるか」という問い方に注意することが大切です。

まず、5人の得点を1人ずつ整理してみると、

上の表より、以下のことが分かります。

  1. 香川さんの算数、国語の2教科合計は、273-99=174点。
  2. 香川さんの算数は、3位の高知さんが88点なので、最高でも87点。
    ⇒これより、香川さんが算数で87点をとったとき、国語は174-87=87点が最低の場合の得点となります。
  3. 香川さんの国語は、3位の岡山さんが90点なので、最高でも89点。⇒これより、香川さんが国語で89点をとったとき、
    算数は 174-89=85点が最低の場合の得点となります。

このように、2つ数の合計が分かっているとき、一方の数が大きくなれば、もう一方の数は小さくなります。こういった「たし算」の仕組みが分かれば、「最低何点?」を考えることができます。

 

【今後に向けての学習アドバイス】

  • 問題文の中にある情報を、表や図などを用いて整理できる力を身につけよう。
  • たし算やかけ算などは、計算だけでなく、その意味や性質を知ることも大切です。
高校受験用 解答

問題1

4 √6cm

問題2

(ア)・・・C

(イ)・・・B(※CとBが反対でも正解)

解説

2問とも大切なことは、①対称移動による図形の性質を考える、②正三角形の性質より、分かる角度を書き込み、そこから新たな図形を見つけることです。
対称移動は中1で学習します。折り曲げる問題などでよく使う重要な性質なので、しっかり覚えておきましょう。

〈対称移動の性質〉

  • 対応する辺の長さ、角の大きさはそれぞれ等しい
  • 対称の軸は、対応する2点を結んだ線分の垂直二等分線になる。

設問の中にある条件を整理して、図の中に書き込みます。(図①)

  • 長方形のたてと横の長さの比より、DC:AD= √2:1。AD=12cmよりDC:12= √2:1。DC=12√2
  • DLの長さをxcmとすると、LC=12√2-x(cm)。また、折り曲げて対称移動しているので、LC=LP=12√2-x(cm)
  • △PKLは正三角形なので、∠PLK=60°また、対称移動により、∠PLK=∠KLC=60°。よって、∠PLD=180°-∠PLK-∠KLC=60°

上記3つのことから、△PDLは∠D=90°の直角三角形(三角定規/図②)となる。

これよりDL:PL=1:2
x :12√2 -x =1:2  x =4√2
また、DL:PD=1:√3 より
4√2 :PD=1:√3
PD=4 cmとなる。



(2)折り曲げてできた図と、手順を逆から考えていくと、手法が見えてきます。

手順③ 2点E、Cを通る線分を折り目として折ったとき、この折り目の線と線分ADの交点が点Pの位置となる。

⇒すなわち点P、E、Cは一直線上にあるので、線分RSと線分PCの交点が点Eとなる、このとき、△LPCはLP=LCの二等辺三角形になり、∠PLC=120°より∠LCP=30°
よって、∠ECB=60°となる。(図③)

・ここで、線分RSは△EBCの底辺BCを垂直二等分線になっており、上記より∠ECB=60°なので、△EBCは正三角形となる。
⇒すなわち、△EBCが正三角形になるように、手順②を考える。


手順② 点(ア)を通る線分を折り目として、点(イ)が線分RS上に重なるように折ったとき、点(イ)の移った点をEとする。

⇒△EBCは正三角形よりEC=BCなので、点Bを点Eに移動するとよい。これより点Cを通る線分を折り目として、点Bが線分RS上に重なるように折ったとき、点Bの移った点がEとなる。 (図④)


どちらの問題も、対称移動と正三角形の性質を利用する問題です。特別なテクニックは必要ありませんが、これまで学習したことを組み合わせて考える力(=応用する力)が必要になります。まずは基礎、基本を定着させたうえで、応用問題に挑戦し思考力を鍛えていきましょう。



【今後に向けての学習アドバイス】

  • 中1で学習する図形の性質は、応用問題を解く上で重要なテーマです。しっかり確認しておこう。
  • 問題文の中にある情報を図に書き込み、性質や定理を見つける練習をしよう。

概要

対象 小1・2・3・4・5・6 / 中1・2・3 / 保護者
実施日 1/4(土)四国新聞掲載
費用 無料
会場
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